{"id":3089,"date":"2019-12-17T22:10:14","date_gmt":"2019-12-17T22:10:14","guid":{"rendered":"https:\/\/nenadnoveljic.com\/blog\/?p=3089"},"modified":"2019-12-18T11:31:15","modified_gmt":"2019-12-18T11:31:15","slug":"expected-payoff-of-the-gaussian-distribution-part-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/nenadnoveljic.com\/blog\/expected-payoff-of-the-gaussian-distribution-part-2\/","title":{"rendered":"Expected Payoff of the Gaussian Distribution Tail Part 2"},"content":{"rendered":"<p>Consider the following equation in <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Nassim_Nicholas_Taleb\">Nassim Nicholas Taleb&#8217;s<\/a> paper <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/pdf\/1907.11162.pdf\">On the Statistical Differences between Binary Forecasts and Real World Payoffs<\/a><\/p>\n<p><a name=\"id2677515195\"><\/a><\/p>\n<p class=\"ql-left-displayed-equation\" style=\"line-height: 47px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> (1) <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/nenadnoveljic.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afbe6adbf1e5922a82f23a8e5bbdaffd_l3.png\" height=\"47\" width=\"224\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;&#32; &#92;&#108;&#105;&#109;&#95;&#123;&#75;&#32;&#92;&#116;&#111;&#32;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#105;&#110;&#116;&#95;&#123;&#75;&#125;&#94;&#123;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#120;&#102;&#40;&#120;&#41;&#100;&#120;&#125;&#123;&#75;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#95;&#123;&#75;&#125;&#94;&#123;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#102;&#40;&#120;&#41;&#100;&#120;&#125;&#32;&#61;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#73;&#95;&#49;&#125;&#123;&#73;&#95;&#50;&#125;&#32;&#61;&#32;&#49; &#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p>\n<p>where:<\/p>\n<ul>\n<li><i>I1<\/i> is the expected payoff for all the values above <i>K<\/i>.<\/li>\n<li><i>I2<\/i> is the payoff of K multiplied by the probability of exceeding <i>K<\/i>.<\/li>\n<li><i>x<\/i> is the impact function <i>g(x)=x<\/i><\/li>\n<li><i>f(x)<\/i> is the probability density function of centered and normalized Gaussian distribution.<\/li>\n<\/ul>\n<p>In other words, <i>I1<\/i> and <i>I2<\/i> are close to each other only for thin tailed distributions. Conflating <i>I1<\/i> and <i>I2<\/i> leads to underestimating the expected payoff, especially with fat tailed distributions.<\/p>\n<p>I wrote this note first and foremost to understand the Taleb&#8217;s equation <a href=\"#id2677515195\">1<\/a>.<\/p>\n<p>The proof will be done for the Gaussian distribution probability density function (centered and normalized):<\/p>\n<p><a name=\"id2365569775\"><\/a><\/p>\n<p class=\"ql-left-displayed-equation\" style=\"line-height: 47px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> (2) <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/nenadnoveljic.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7b2286f3238285f1422f25a95faf410_l3.png\" height=\"47\" width=\"99\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;&#32; 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src=\"https:\/\/nenadnoveljic.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-51654b2cd3b64e467bc16993aaf1918e_l3.png\" height=\"625\" width=\"283\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#101;&#113;&#117;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#42;&#125;&#32; &#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#101;&#100;&#125; 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